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至真探索 · 核结构

ML加速核量子多体计算

2026-05-30

算一个原子核，说到底就是解一道薛定谔方程。方程本身不复杂——把核子之间的力写进去，算出最低的能量和对应的波函数就行了。问题出在"算"这个字上。16个核子的⁶Li，波函数的自变量就有48个坐标。每加一个核子，计算量不是翻一倍，而是指数级往上跳。物理学家把这道墙叫"指数墙"——你看得见墙那边有答案，但爬不过去。

机器学习正在帮人搭梯子。不是翻墙，是在墙上凿洞。

最直接的凿法：用神经网络当波函数。传统做法是猜一个试探波函数——比如Slater行列式乘上一个Jastrow关联因子——然后调参数让能量最低。猜得好不好，决定了答案准不准。2022年，Argonne国家实验室的Lovato、Rocco等人在Physical Review Research上发表了一篇关键论文：他们把试探波函数换成了神经网络。不是随便的神经网络——他们在传统的核子空间之外引入了"隐藏核子"，让网络的自由度比物理空间大得多。同时把宇称和时间反演对称性直接编码进波函数。这套叫"hidden-nucleons NQS"的方案，在轻核上达到了跟数值精确的超球谐方法同等的精度，在¹⁶O上追平了辅助场扩散蒙特卡洛（AFDMC）。这是NQS第一次算到A=16的核，之前最多只到A=6。

顺着这条路，2026年初Lovato团队写了一篇85页的综述（arXiv: 2602.13826），把NQS在核多体问题上的全景铺开了：有限核、无限核物质和中子物质、核反应动力学。NQS最大的本事是抓"涌现现象"——核子结团怎么从核力中冒出来，致密物质里的超流相怎么形成——这些是传统基组展开方法很难算准的东西。因为NQS在连续空间工作，不需要单粒子基组展开，天然就绕过了高分辨率核力跟基组截断之间的冲突。

但NQS算的都是基态能量和静态性质。核物理需要的不只是基态——需要响应函数、光致分裂截面、电弱散射截面。这些量要求你算出核的激发谱。2026年1月，同一团队在PRL上发表了"Nuclear Responses with Neural-Network Quantum States"，把NQS跟洛伦兹积分变换（LIT）技术绑在了一起。思路很巧妙：不直接算连续态末态——那要算无穷多个——而是对响应函数做一个洛伦兹积分变换，把它变成一个跟基态有关的量，然后用NQS去算这个变换。对氘核和⁴He的光致分裂截面，NQS-LIT的结果跟实验符合得很好，精度在1%到几个百分点之间。这意味着NQS从"只能算基态"迈到了"能算动力学响应"。

还有一条平行的路：Foundation Neural-Network Quantum States（FNQS），2025年8月发表在Nature Communications上。灵感来自大语言模型——GPT用一个模型处理所有语言任务，FNQS用一个神经网络处理所有量子哈密顿量。做法是把哈密顿量的耦合参数跟物理组态一起喂给一个Vision Transformer架构。训练一次，就能对整条相图上的参数给出基态能量。在横场伊辛链上，训练5个点就能外推到2000个点的精度。更厉害的是，FNQS能自动检测量子相变——不需要事先知道序参量是什么，纯粹从保真度磁化率的峰值就能把临界点找出来。在J1-J2-J3海森堡模型上，它把相图分成了三个区域，跟序参量分析的结果一致，但完全是无监督的。FNQS的预训练模型已经放在Hugging Face上，跟NetKet框架对接。目前FNQS还局限在自旋模型，往费米子体系和分子体系推广是下一步。

视线转到核密度泛函。传统Kohn-Sham DFT要算单粒子轨道，标度是O(N³)。无轨道DFT（orbital-free DFT）标度是O(N)，但传统做法（Thomas-Fermi及其扩展）抓不住壳效应和形变——对⁸⁰Ne这样的变形核，扩展Thomas-Fermi只能给出球形极小值，完全错了。2025年8月，Nature Communications Physics上发表了一篇论文，用机器学习训练无轨道DFT的动能泛函。训练数据是24000个随机势场下的薛定谔方程解，测试在¹⁶O和²⁰Ne上。ML-DFT不仅抓住了¹⁶O的球形基态，还精确再现了²⁰Ne的扁长和扁球形变极小值——量子壳效应和形变效应第一次被无轨道泛函正确描述了。能量精度在5-25 keV之间。对²⁴Mg和²⁸Si的外推测试，偏差小于2 MeV。这是Hohenberg-Kohn定理提出六十年来，无轨道DFT第一次在变形核上真正能用。

2026年4月，arXiv上又冒出一篇用神经网络做核DFT的论文（arXiv: 2604.25759），思路不太一样。他们不训练泛函，而是用多层感知机（MLP）直接参数化质子和中子密度分布，然后通过变分最小化Skyrme型能量泛函。好处是不用推导Euler-Lagrange方程——自动微分帮你把梯度全算出来了。在⁴⁰Ca、⁹⁰Zr和²⁰⁸Pb上，结合能偏差0.5%，半径偏差1%。更漂亮的是，这个框架不需要事先假定球对称或轴对称——它用三维网格，让神经网络自己去找到正确的密度形状。在中子星壳层的"核意面"相（球、柱、板状结构）上，网络自动发现了不同拓扑，不需要施加任何对称性约束。单精度和双精度计算结果几乎一样，这意味着天然适合GPU和AI加速器。

再说量子蒙特卡洛。AFDMC是算核物质和中子物态方程的主力工具，但它有两个老大难：费米子符号问题和方差爆炸。2025年，一篇预印本把神经网络优化后的试探波函数喂给AFDMC，在中子物质上用chiral EFT相互作用做了测试——方差降了60%。同一时期，Physics Letters B上发表了AFDMC的降阶模型（reduced-basis emulator），用少数几个高保真QMC计算做基底，对新的相互作用参数做快速插值。这意味着以前跑一次QMC要几天，现在用emulator几秒就能给一个近似答案。

再看无壳核模型（NCSM）。NCSM算得准，但必须截断基组——而物理结果在无穷大基组里。怎么从有限基组外推到无穷大？传统做法是拟合指数衰减，但拟合形式是猜的。2025年，两组人用神经网络做NCSM的外推：Springer上发表了一篇用神经网络集成的方法，arXiv上有一篇对⁶He和⁶Li基态能量和RMS半径的外推。核心思路是让网络学习"基组大小→物理量"的映射关系，然后预测N→∞时的值。跟传统指数拟合相比，神经网络外推更灵活，不依赖先验的函数形式。

除了算波函数和能量，机器学习还在帮人"发现"物理定律。2025年3月，Communications Physics上发表了一篇非常漂亮的论文：用符号回归（symbolic regression）重新发现核物理的经典模型。他们开发的MISR方法——多目标迭代符号回归——同时拟合结合能、比结合能、单核子和双核子分离能，不需要指定公式形式，算法自己去搜索。结果？液滴模型的体积项、表面项、库仑项、不对称项从数据里自然冒出来了。更好玩的是，电荷半径的符号回归给出了一个含指数同位旋依赖的项——这个指数项在传统电荷半径模型里从来没出现过，但在质量模型的早期工作中（Seeger 1961）有过类似形式。MISR-10在结合能上的测试集MAE是0.443 MeV，跟最先进的DFT（HFB24）和Duflo-Zuker模型打平。电荷半径上MISR在Z=12到50的范围内超过了所有DFT和解析模型。把MISR跟Duflo-Zuker组合，MAE降到0.411 MeV——比最好的DFT好了20%。用这个组合模型预测滴线，能给出每个核子是否束缚的概率。最大的不确定性集中在壳层过渡区。

核质量预测是ML在核物理里最活跃的应用之一。2024-2025年，PRC上出现了一大批用贝叶斯神经网络、卷积神经网络、门控循环单元（GRU）做质量预测的文章。GRU在2025年的工作中把RMSE降到了0.326 MeV。贝叶斯神经网络的优势是自带不确定度量化。图神经网络开始出现，因为核素图天然就是一个图——每个核子数N和质子数Z定义一个节点，相邻核素之间有边。

国内这个方向走得很快。2025年10月，第四届全国核物理及核数据中的机器学习应用研讨会在衡阳南华大学召开，马余刚和张焕乔两位院士主持，80多个科研院所参加。议题覆盖核结构、核反应、核天体、核数据、高能核物理和核医学。这个系列会从2022年的第一届（瑞昌）到2025年的第四届，四年走完从"探索"到"建制化"的全过程。

2022年Reviews of Modern Physics上的"Colloquium: Machine Learning in Nuclear Physics"是领域奠基性的综述，涵盖了从核质量预测到探测器设计到加速器优化的全景。但那篇综述写的时候，NQS在核物理上还只能算到A=6。四年后的今天，A=16已经拿下了，A=40在推进中，核响应函数也能算了，无轨道DFT在变形核上能用了，符号回归在发现新的解析表达式。进展的速度比大多数人预期的快。

但也有裂缝。NQS算核响应目前只用了LO无π EFT相互作用，这个力对A>4的核连电荷半径都算不准，更重的核必须加p波分量。FNQS还只适用于自旋模型，费米子的反对称性怎么优雅地编码进去，是开放问题。ML-DFT能抓住形变，但还没把对关联放进去——而对关联是描述开壳核和超流相的关键。NCSM的神经网络外推在轻核上验证了，到了sd壳核素区，基组截断的收敛行为可能更复杂。符号回归发现的指数同位旋依赖是否反映真实的物理，还是数据拟合的副产品，需要独立的实验检验。

最大的裂缝是可解释性。神经网络给出的波函数、密度、截面，你可以在统计意义上验证它准不准，但你很难从中提取出"为什么"——为什么这个核是变形的，为什么那个跃迁被压制了。传统模型虽然粗糙，至少你能追踪每个物理量的来源。MISR之所以引人注目，恰恰因为它给出的是解析表达式——你能看见每个项长什么样。但MISR能发现的，还是低维的、全局性的规律。核力的高动量短程关联、三体力效应、张量力的精细结构——这些是符号回归摸不到的地方。

所以现在这个领域的格局是：ML在"算得更快"这条路上已经跑通了——NQS追平QMC，ML-DFT绕过Euler-Lagrange方程，emulator让QMC秒级出结果。在"算得更准"这条路上也在推进——hidden-nucleon把表达能力拉上去，LIT+NQS打开了动力学响应的窗口。但"理解为什么"这条路，ML目前还帮不上太多忙。也许它本来就不该帮这个忙——理解是物理学家的事，ML的责任是让物理学家看到以前看不到的结果，然后由人去理解。

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参考文献与资料

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  2. Lovato, A. et al. "Neural-network quantum states for the nuclear many-body problem." arXiv: 2602.13826, 2026 (85-page review)
  3. Fore, B. et al. "Nuclear Responses with Neural-Network Quantum States." Phys. Rev. Lett., 2026 (arXiv: 2504.20195)
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  12. Pillon, M. et al. "Colloquium: Machine learning in nuclear physics." Rev. Mod. Phys. 94, 031003, 2022
  13. 第四届全国核物理及核数据中的机器学习应用研讨会. 南华大学, 衡阳, 2025年10月
  14. Liu, J. et al. "Nuclear mass predictions with Bayesian neural network." Chinese Phys. C, 2025
  15. Peng, J. et al. "Deep learning approaches for nuclear binding energy predictions." Phys. Rev. C, 2025
  16. "深度学习在高能核物理中的前沿进展." 核技术, 48(5), 2025