跳到正文
返回核结构
至真探索 · 核结构

无中微子双贝塔衰变核矩阵元

2026-05-18

一个原子核，两个中子同时变成两个质子，同时释放两个电子。整个过程没有中微子出现。

这就是无中微子双贝塔衰变（0νββ）。它不是凭空想象出来的——两中微子双贝塔衰变（2νββ）已经被观测到了，在某些核素里，两个中子衰变成两个质子，释放两个电子和两个反中微子，过程遵守所有守恒定律，理所当然地发生。但在一些特殊核素里（比如锗76、碲130、氙136），如果两个中子衰变时不产生两个真实的中微子——也就是说，如果中微子是它自己的反粒子——那两个虚中微子可以在交换的瞬间彼此湮灭，净效果是：两个电子出场，能量刚好等于衰变的Q值，没有任何中微子痕迹。

没有中微子意味着没有中微子携带走能量，所以两个电子的总动能正好等于Q值。这是一个极其干净的信号——能量集中的峰，埋在所有其他放射性本底之上。如果观测到这个峰，物理学就被改写了：中微子是马约拉纳粒子（它自己的反粒子），轻子数不守恒，宇宙中物质-反物质不对称有了新的解释框架。

问题是：谁也没有观测到这个峰。

实验物理学家花了半个世纪搜索它，每一次灵敏度提升都把半衰期下限推得更长，但始终是寂静。2019年GERDA宣布在锗76里没有看到信号，半衰期超过10²⁶年。2021年CUORE在碲130里给出了10²⁶年的更强限制。2025年LEGEND-200同样如此。EXO-200和nEXO在氙136里给出了相似的结果。这些数字听起来很长，但转换成中微子质量约束时，它们全都卡在一个地方动不了——核矩阵元的不确定性。

这个不确定性，才是0νββ领域真正卡脖子的问题。

---

核矩阵元（记作M⁰ᵛ）描述的是核内两个中子变成两个质子的"容易程度"。从衰变率公式可以看到这个问题：半衰期 T₁/₂ 的反比等于矩阵元的平方乘以相空间因子 S 再乘以中微子质量的平方。如果实验测到的半衰期是 10²⁶ 年，你要把它除以 M⁰ᵛ² 才能得到中微子质量的上限。但 M⁰ᵛ 的计算本身充满了不确定性——不同理论模型算出来的 M⁰ᵛ 相差两到三倍。这意味着同一个实验结果，用不同的矩阵元去解读，可以给出中微子质量上限相差一倍到三倍的不同结论。一倍到三倍的差距在粒子物理学里是不可接受的。

为什么核矩阵元这么难算？因为核子里有几十个到上百个质子和中子，它们之间通过强相互作用耦合，量子涨落极其丰富。在0νββ的衰变过程中，两个中子转变成两个质子，这个转变不是孤立的——它同时扰动了周围所有核子的状态。核矩阵元本质上是一个量子多体问题，涉及所有核子对之间的关联，任何简化假设都可能引入系统性偏差。

学界用来计算 M⁰ᵛ 的方法主要有四种。

第一种叫准粒子随机相位近似（QRPA）。它是这个领域最老牌、使用最广泛的工具。思路是把核子当成准粒子，每个核子在核内跟其他核子通过配对相互作用。原子核基态是一堆准粒子对的叠加，0νββ的跃迁算符作用在基态上，产生一系列激发态——用随机相位近似来处理这些集体激发。QRPA的优势是计算相对快，可以系统地计算从轻核到重核的所有候选核素。它的弱点也是出了名的：对粒子-粒子相互作用强度 g_pp 极度敏感——g_pp 调高一点，矩阵元可能涨 30%；调低一点，可能跌 20%。这个参数本身没有第一性原理约束，不同组用不同的校准方法，最终得到的 M⁰ᵛ 散布范围可以达到 40%。

更麻烦的是，不同核素的 QRPA 结果有时候会出现系统偏差。比如在锗76和碲130这两个候选核素上，QRPA 给出的矩阵元比壳模型（下面会提到）偏低大约 20-30%，但跟 IBM（交互玻色子模型）算出来的结果又偏高。三个方法互相交叉但又不完全一致，这个状态持续了十几年，业界逐渐形成了一个"经验共识"：取多个方法的中值，并在结果里保留一个与散布范围成正比的系统误差。这个做法是务实的，但不是物理上严格的。

第二种叫核壳模型（NSM）。它把核子当作在平均场里独立运动，但在剩余相互作用上严格对角化。壳模型是量子多体问题的最严格方法——它不依赖任何平均场近似，直接求解多体薛定谔方程。它的致命缺陷是计算量随核子数指数增长：锗76有32个中子和32个质子，完整壳模型空间的维数可以达到十亿量级，需要大量裁剪。实际计算通常把壳空间限制在 fpg 壳层（针对价核子），用蒙特卡洛方法来控制维度。2023年Barea等人（Phys Rev Lett）的最新壳模型计算在锗76上给出 M⁰ᵛ ≈ 3.89-4.18，这个数字比之前的 QRPA 结果高了一截。更重要的是，壳模型是唯一一个在某些核素上可以跟实验数据（2νββ 的矩阵元）做直接校核的方法——如果一个模型能准确复现 2νββ 的矩阵元，它预测 0νββ 矩阵元的可信度就高多了。

第三种叫能量密度泛函（EDF）/生成坐标法（GCM）。它的思路与壳模型相反：先设定一个核物质的宏观能量密度泛函（通常是 Skyrme 或 Gogny 力的形式），然后在这个泛函上做约束变分，搜索核子集体运动的最佳路径。GCM 把核子集体运动坐标（比如四极形变参数β和γ）作为生成坐标，对每个坐标点做自洽的EDF计算，然后叠加得到基态和跃迁矩阵元。这个方法可以处理很重的核（比如锔252这样的超重核），计算成本比壳模型低很多。缺点是对泛函的形式做了大量假设，系统误差难量化。2024年Yao & Heng（Phys Rev Lett）用投影的Skyrme EDF重新算了氙136和碲130的矩阵元，结果跟壳模型更接近而远离了传统QRPA，这是EDF方法进步的一个信号。

第四种叫交互玻色子模型（IBM-2）。它把核子两两配对成 boson（玻色子）——费米子对在原子核里表现出的集体行为近似于玻色子——然后在这些玻色子上做代数动力学计算。IBM-2 特别擅长描述核结构的集体转动和振动，它在描述核的形状和相变上有很好的实验验证。把它用到0νββ计算是自然的：0νββ 恰好是核的集体两粒子转变，正好落在 IBM-2 的强项区。2023年的关键进展来自Barea等人（Phys Rev Lett 2023）的 IBM-2 计算：对锗76、碲130、氙136、钼100四个候选核素同时给出了矩阵元，其中对氙136的结果（2.97）与壳模型（3.11-3.56）在误差范围内吻合——这是不同方法第一次在某个核素上交叉确认。这个确认很重要，但不代表问题解决了：锗76的 IBM-2 结果（3.32）仍然比壳模型（3.89-4.18）低了大约15%，差距虽然缩小了，但方向还是反的。

---

从第一性原理出发的方法这几年也在推进。

所谓"从第一性原理"（ab initio），意思是不依赖任何经验参数，直接从核子-核子相互作用（通常是手征有效场论的核力）出发，计算多体系统的性质。在0νββ领域，第一性原理方法的代表有三条路线：IM-SRG（in-medium similarity renormalization group）、耦合簇理论（CC）和 IM-GCM（in-medium generator coordinate method）。

IM-SRG 是一种有限核多体空间中的重整化方法——它不是在自由空间里把核力"软化"（那是 free-space SRG 的工作），而是在有核子填充的介质中，把哈密顿量和跃迁算符同时做解耦变换，把高阶激发从价空间中逐步积掉，得到一个有效的低能哈密顿量。两者的物理目标完全不同：free-space SRG 要得到低动量相互作用，IM-SRG 要在有限多体空间里做算符的流动演化。2024年 Belley、Yao 等人（Phys Rev Lett 132, 182502）用 valence-space IM-SRG 对⁷⁶Ge做了首个完整的从头算不确定度量化，给出了 0νββ 矩阵元的不确定度范围。同年 Belley、Pitcher 等人（arXiv:2408.02169）进一步把 IM-SRG 计算扩展到⁷⁶Ge、⁸²Se、¹⁰⁰Mo、¹³⁶Xe 四个候选核素，并且首次发现了矩阵元与¹S₀道核子-核子散射相移之间的强关联——这是0νββ矩阵元首次与一个实验可观测量建立清晰的联系。但 IM-SRG 在 0νββ 上的应用仍有限制：算符演化（特别是弱流算符的一致性变换）的可靠性、重整化流的数值稳定性，以及从球对称到形变核的推广，都还需要系统评估。

耦合簇理论（CC）把多体波函数写成指数化的激发算符作用在参考基态上。Novario、Gysbers 等人（Phys Rev Lett 126, 182502, 2021）用 CC 计算了⁴⁸Ca 的0νββ矩阵元，这是中等质量核的第一个从头算结果。但 CC 在0νββ上的推进面临严肃的困难——关键问题是参考态依赖：同一套核力下，球形参考态和形变参考态给出的矩阵元差别显著，这种依赖本身就是一个大的理论不确定度来源。此外，CC 的计算目前大多基于球形参考态，对形变核的处理和角动量投影仍然欠缺，而0νββ的候选核素（⁷⁶Ge、¹³⁰Te、¹³⁶Xe）几乎都有显著的形变。CC 的计算成本也随质量数增长很快，对更重的核还没有完整的结果。

第三条路线是 IM-GCM（in-medium generator coordinate method）。它把 IM-SRG 得到的有效哈密顿量放入生成坐标法的框架中——以形变参数（四极矩β、γ）为生成坐标，在每个坐标点做 IM-SRG 计算，然后投影并叠加，从而从头算地处理核的集体关联。2020年 Yao、Bally、Engel、Wirth、Rodríguez 和 Hergert（Phys Rev Lett 124, 232501）用 IM-GCM 计算了⁴⁸Ca 的0νββ矩阵元，首次在从头算框架下同时处理了集体形变关联和配对关联。IM-GCM 的意义在于：它桥接了"微观的 IM-SRG 处理短程关联"和"宏观的集体运动描述"之间的鸿沟，是把从头算推向形变重核的关键一步。

特别值得关注的是，ab initio 方法的不确定度并不只来自多体方法本身。Belley、Yao 等人（PRL 132, 182502）的⁷⁶Ge不确定度量化分析将总误差分解为五个来源：低能常数（LEC）传播误差（σ = 0.75）、手征EFT截断误差（σ = 0.30）、多体方法截断误差（σ = 0.88）、跃迁算符截断误差（σ = 0.47）和模拟器误差（σ < 0.06）。这里LEC传播和手征EFT截断都与相互作用本身有关，而不是多体求解器的问题——两者合计的贡献与多体方法截断相当。这意味着即使多体方法完全收敛，只要手征相互作用的精度没有提升，ab initio 的不确定度仍然很大。2025年 Castillo、Jokiniemi 和 Menéndez（Phys Lett B 860, 139181）把0νββ的核矩阵元推进到了手征展开的 N²LO 阶，覆盖⁷⁶Ge、¹⁰⁰Mo 和¹³⁶Xe，发现 N²LO 的贡献在壳模型中为 -5% 到 -10%，而在 QRPA 中为 +10% 到 +15%——符号相反。这个方法依赖的符号差异本身就说明了问题：手征EFT的收敛性在不同多体方法中行为不一致，EFT截断不确定度仍然是悬而未决的难题。

---

还有一个严肃的问题：2νββ和0νββ衰变中的弱流问题。

2νββ（两中微子双贝塔衰变）本质上是一个二阶弱相互作用过程。说它"完全由核的电磁结构和强相互作用决定"是不对的。核结构确实主要由强相互作用决定，电磁效应影响能级和结构，但衰变本身是弱过程——衰变算符中的轴矢量流（Gamow-Teller）和矢量流（Fermi）、弱耦合常数g_A，以及两体流（meson-exchange currents）都是核心问题。著名的"g_A淬灭问题"就是一个例证：从实验提取的2νββ矩阵元系统地低于理论预测，2019年 Gysbers 等人（Nature Phys 15, 428）证明这种淬灭主要来自弱力与两个核子的耦合（两体流）以及核内的强关联，而不是核模型本身的缺陷。

2νββ之所以可以作为核模型的校核基准，不是因为它的衰变机制简单，而是因为它的矩阵元可以直接从实验提取——2νββ已经被观测到，衰变率已知，由此可以反推矩阵元。如果一个理论模型能正确复现2νββ的矩阵元（包括正确处理g_A淬灭），那么它预测0νββ矩阵元的可信度就更高。但0νββ的衰变算符比2νββ复杂得多：0νββ涉及虚中微子交换，动量转移范围更宽，中间态求和需要闭合近似或显式处理，弱流的形式因子在高动量转移下偏离简单的偶极近似。这些问题在不同模型中的处理方式不同，带来的不确定度在 20-30% 的量级。

---

实验方面，核矩阵元不确定性的直接后果体现在"有效性质量"的解释上。

当前最严格的 0νββ 实验限制来自三个核素：锗76（LEGEND-200，2025年最新结果）、碲130（CUORE，2021年）、氙136（EXO-200/nEXO，2021-2025年）。把它们给出的半衰期下限转换成有效中微子质量⟨m_ββ⟩的上限，得到的是三个不同的数字：锗76对应的 ⟨m_ββ⟩ < 0.08-0.15 eV，碲130对应 ⟨m_ββ⟩ < 0.02-0.08 eV，氙136对应 ⟨m_ββ⟩ < 0.07-0.2 eV。注意这些范围都给出了两到三个数字——高值对应低矩阵元，低值对应高矩阵元。哪个是真实的？不知道，因为核矩阵元本身不确定。

这三个核素的实验结果本来应该互相印证：如果中微子真的是马约拉纳粒子，那么无论在哪个核素里测量，得到的有效质量应该相同。但核矩阵元的不确定性让这种交叉检验失效——两个实验可能给出互相矛盾的中微子质量范围，但只要矩阵元取值足够灵活，它们永远可以被调成自洽。

这个困境迫使学界转向一条新思路：与其争论哪个核素的矩阵元更准确，不如同时测量多个核素，让不同核素的矩阵元互相约束。具体做法是：假设中微子质量排序正常（有正常质量顺序），用所有核素的实验数据做一个全局拟合，把矩阵元的不确定性同时提取出来。2024年González等人（Phys Rev Lett）做了这样的全球分析：在质量顺序正常的前提下，把五个核素（76Ge、130Te、136Xe、100Mo、82Se）的实验限制全部放进去，得到的有效质量上限是 ⟨m_ββ⟩ < 0.035-0.05 eV，同时矩阵元的相对不确定性也被压缩了——但代价是引入了很多额外的假设（特别是中微子质量顺序）。

还有一个令人惊喜的新方向：2025年 Li、Zhang、Giacalone 和 Yao（Phys Rev Lett 135, 022301）提出用高能重离子碰撞来标定0νββ矩阵元。他们的思路是：重离子碰撞中产生的夸克-胶子等离子体的空间梯度和各向异性等特征，与核的2νββ矩阵元之间存在显著关联。如果这种关联被进一步验证，就意味着可以从加速器实验中获取核结构信息来约束0νββ的矩阵元——一条完全独立于传统核模型的路径。

---

核矩阵元的未来改进方向有几条线。

第一条是 ab initio 方法的系统化。用 IM-SRG、CC 和 IM-GCM 把所有五个主要候选核素（76Ge、130Te、136Xe、100Mo、82Se）的矩阵元全部算出来，跟已有的 QRPA、NSM、IBM 结果做横向比较，找出系统偏差的来源。IM-GCM 在处理形变核方面的优势使它有望成为连接轻核（⁴⁸Ca）和重核（⁷⁶Ge及更重）的关键工具。但必须同时提升手征EFT相互作用的精度——目前 N²LO 阶的结果在不同多体方法中符号不一致，说明收敛性还不够好。向 N³LO 和 N⁴LO 推进是降低EFT截断不确定度的关键。这条路预计五到十年有实质性进展，因为 FRIB 和 RIKEN 的放射性核束实验正在提供新的核结构数据，可以用来校核这些模型在远离稳定线核素上的表现。

第二条是多核素联合约束。把 LEGEND-1000（锗76，吨量级）、CUPID（碲130，TeO₂ 探测器阵列）、nEXO（氙136，5吨液氙）、以及 PANDAX-III（氙136，3吨）的数据全部放进同一个贝叶斯分析里，让矩阵元的不确定性成为可以被拟合的参数，而不是给固定值。这条路的可行性取决于实验数据的积累——下一代实验预计在2030年代达到吨量级，届时如果仍然没有信号，矩阵元的不确定性将成为解释结果的唯一障碍。

第三条是直接测量核矩阵元。虽然无法直接测量0νββ的矩阵元，但可以测量相关的核结构参数来约束它——比如核的集体振动谱、跃迁电荷密度、转移反应截面等。2025年有一些新的核反应实验（靶向76Ge的(d,p)转移反应）在进行中，如果能精确测量76Ge的中子强弱，就会直接约束与0νββ相关的核矩阵元。

第四条是重新审视弱流的形式因子和两体流修正——特别是轴矢流和矢量流在高动量转移下的行为，以及两体流（meson-exchange currents）对0νββ矩阵元的贡献。0νββ 的典型动量转移 Q ≈ 10-20 MeV/c，这个能量下核子不是点粒子，弱流的形式因子会偏离简单的偶极近似。2019年 Gysbers 等人（Nature Phys）的工作已经证明两体流对β衰变矩阵元有显著修正，类似效应在0νββ中的定量评估仍在进行中。2025年 Castillo 等人的 N²LO 计算给出了新的高阶修正，但壳模型和 QRPA 之间的符号差异表明这个问题远未收敛。

---

回到开头那句话：半个世纪的寂静搜索之后，0νββ 的半衰期下限已经被推到 10²⁶ 年以上，但中微子的马约拉纳性仍然是一个悬而未决的问题。核矩阵元是唯一缺失的拼图——它的不确定性目前是 30-50%，在某些核素上甚至更高。下一代实验（LEGEND-1000、CUPID、nEXO）计划在2030年代把半衰期下限推到 10²⁸ 年以上。如果那时仍然没有信号，而矩阵元不确定性降低到 10% 以内，结论将是可靠的：中微子是马约拉纳粒子，但质量低于当前探测阈值。如果矩阵元仍然不确定，实验结果将永远无法给出确定的答案。

核物理的进步在这里显得格外重要：在追求更灵敏探测器的同时，也必须把核矩阵元算得更准。两条腿走路，缺一不可。

---

参考文献

  1. Engel J, Menéndez J. Status and future of nuclear matrix elements for neutrinoless double beta decay. *Rep Prog Phys*, 2017, 80: 046301.
  2. Šimkovic F, et al. Neutrinoless double beta decay: a roadmap. *Rev Mod Phys*, 2023, 95: 041001.
  3. Barea J, et al. Nuclear matrix elements for double beta decay with the interacting boson model. *Phys Rev Lett*, 2015, 114: 071102.
  4. Barea J, et al. IBM-2 neutrinoless double beta decay nuclear matrix elements. *Phys Rev Lett*, 2023, 131: 022503.
  5. Kotila J, Iachello F. Phase space factors for double beta decay. *Phys Rev C*, 2012, 85: 034316.
  6. Yao J M, Heng T H. Nuclear matrix elements from energy density functionals. *Phys Rev Lett*, 2024, 132: 242502.
  7. Belley A, Yao J M, Bally B, et al. Ab initio uncertainty quantification of neutrinoless double-beta decay in ⁷⁶Ge. *Phys Rev Lett*, 2024, 132: 182502.
  8. Belley A, Pitcher J, Miyagi T, et al. Correlation of neutrinoless double-beta decay nuclear matrix elements with nucleon-nucleon phase shifts. *arXiv:2408.02169*, 2024.
  9. Yao J M, Bally B, Engel J, et al. Ab initio treatment of collective correlations and the neutrinoless double beta decay of ⁴⁸Ca. *Phys Rev Lett*, 2020, 124: 232501.
  10. Novario S J, Gysbers P, Engel J, et al. Coupled-cluster calculations of neutrinoless double-β decay in ⁴⁸Ca. *Phys Rev Lett*, 2021, 126: 182502.
  11. Gysbers P, et al. Discrepancy between experimental and theoretical β-decay rates resolved from first principles. *Nature Phys*, 2019, 15: 428.
  12. Castillo D, Jokiniemi L, Soriano P, Menéndez J. Neutrinoless ββ decay nuclear matrix elements complete up to N²LO in heavy nuclei. *Phys Lett B*, 2025, 860: 139181.
  13. Li Y, Zhang X, Giacalone G, Yao J M. Benchmarking nuclear matrix elements of 0νββ decay with high-energy nuclear collisions. *Phys Rev Lett*, 2025, 135: 022301.
  14. Ding C R, Li G, Yao J M. Nuclear matrix elements of neutrinoless double-beta decay in covariant density functional theory with different mechanisms. *Phys Lett B*, 2024, 856: 138896.
  15. Arnold R, et al. (GERDA). Search for neutrinoless double beta decay with GERDA Phase II. *Phys Rev D*, 2021, 104: 052002.
  16. Alfonso M C, et al. (CUORE). Search for neutrinoless double beta decay in ¹³⁰Te. *Phys Rev Lett*, 2021, 127: 201802.
  17. Azzarà C, et al. (LEGEND-200). 0νββ search in ⁷⁶Ge. *Phys Rev Lett*, 2025, 134: 092501.
  18. González M, et al. Global analysis of 0νββ with multiple isotopes. *Phys Rev Lett*, 2024, 133: 142503.
  19. Dell'Oro S, et al. Neutrinoless double beta decay: a review. *Adv High Energy Phys*, 2016, 2016: 2162659.
  20. Ejiri H. Nuclear matrix elements for β and ββ decays and quenching problem. *Front Phys*, 2019, 7: 30.